lunes, 31 de enero de 2011

¿Quién inventó las ecuaciones?

Cuando se estudian en la ESO, todos nos preguntamos: ¿quién inventó las ecuaciones? ¿Y para qué? Puede ser sorprendente, pero las ecuaciones no son nada nuevas. Antes que nuestros padres, abuelos... Y hasta tatarabuelos, hubo bastante gente que las estudió, ya sea por necesidad o, simplemente, por gusto.
  • Hacia 1700 a.C., es decir, hace aproximadamente 3700 años, en Mesopotamia y Babilonia ya se sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Poco después también eran utilizadas en Egipto. La razón para ello tiene que ver con resolver problemas relacionados con la repartición de víveres, cosechas y materiales. El papel aún no existía y los babilonios escribían sobre tablillas de barro húmedo como la que aparece en la foto de abajo. En una de esas tablas aparece el siguiente problema:
"He multiplicado largo y ancho y he obtenido el área. He sumado al área el exceso del largo sobre el ancho y da 183. He sumado largo y ancho y se obtiene 27. Se pide largo, ancho y área”.
Tablilla de barro con 17 problemas matemáticos
Como se ha comentado en clase, las ecuaciones son esencialmente ACERTIJOS en los que intervienen cantidades de algún tipo. De todas formas, no existía un simbolismo para las ecuaciones tal y como lo tenemos hoy en día. A la incógnita, por ejemplo, no se le llamaba "x".
      Fíjate en la foto de arriba. Imagínate que ahí hay 17 problemas matemáticos, pero sin lenguaje matemático... Habría que leerlos para juzgar, pero así, de entrada, asustan. Aunque el lenguaje algebraico que aprendemos sea un quebradero de cabeza, me parece que es mejor que el que había antiguamente.
      Diofanto de Alejandría
      • Diofanto de Alejandría, en el siglo III d.C., es decir, hace 1700 años más o menos,  introdujo un simbolismo elemental para las ecuaciones. Aún así, no creais que era igual que hoy... Si quereis comparar, así es como Diofanto expresaba la ecuación: 8x +30 =11x + 15:
      jjhmº l    isoi eisin   jjiam º ie
      expresión que significa: "8 incógnitas más 30 unidades son iguales que 11 incógnitas y 15 unidades" (En fin, si a alguien le resulta más fácil el lenguaje algebraico de Diofanto es libre de volver al pasado... Allá él o ella)
      Curiosidad: Poco se sabe de la vida de Diofanto, salvo este epitafio que se conservó en la antología griega:

      "Transeúnte, esta es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su niñez ocupó la sexta parte de su vida; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto se deduce su edad."

      ¿Sabrías decir a partir de él a qué edad falleció?
      Sello ruso con Al-Jwarizmi
      • Entre los siglos VIII y IX, es decir, hace aproximadamente 1200 años apareció en la historia Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (también lo he leído como Al-Khwarizmi).  Si pronuncias la última palabra de su nombre y prestas atención creerás que de él deriva la palabra "algoritmo". Un algoritmo era el método de cálculo numérico empleado en lugar de los ábacos. Pero a Al-Khwarizmi le debemos bastante más que eso.
      También le debemos la palabra "álgebra". Según parece esta palabra proviene de adaptar al latín parte del título una de sus obras más importantes (porque no sabían muy bien como traducir el original): "Hisab al-jabr wa’l muqabala", donde se resuelven también problemas con ecuaciones de segundo grado. Pero lo más curioso es que el significado que terminó dándose a "Álgebra"es la de "obligar por la fuerza a que cada término de la ecuación esté donde le corresponde".
      Hay que resaltar que Al - Khwarizmi no utilizaba cifras para indicar los números en su libro, sino que ¡escribía los números con todas sus letras!. También merece la pena destacar algo: Al-Khwarizmi no llamaba a la incógnita "x", sino shay, que significa "cosa" en árabe, por lo que a los que a los que resolvían ecuaciones se les llamaba cosistas (En fin... recordaremos en clase que estamos aprendiendo a ser "cosistas").
      Curiosidad: "Álgebra" procede del árabe y significaba inicialmente: recomposición o restitución". Así, el Álgebra era para aquellos árabes el arte de recomponer los huesos rotos. Los barberos del siglo XVI, que además de afeitar sacaban muelas, hacían sangrías y arreglaban huesos, ponían como rótulo en sus establecimientos: "ALGEBRISTA Y  SANGRADOR".
      • Sin embargo Al-Jwarizmi no utilizaba aún la misma notación o símbolos que utilizamos hoy en día. El símbolo "=" no fue introducido hasta 1557 por el matemático inglés Recorde.
      • Fue en 1637, es decir, hace casi 400 años, cuando Descartes inventó la notación algebraica moderna, llamando a las incógnitas de las ecuaciones x, y ó z y la notación exponencial como la conocemos hoy en día.
      René Descartes
      Curiosidad: Parece ser que cuando Descartes fue a imprimir su libro "Geometrie", el editor le dijo a Descartes que el libro tenía demasiadas ecuaciones, de manera que se quedaban sin letras. Descartes le dijo que le daban igual las letras porque estas no influían en las soluciones... Así que el editor escogió "x" por ser una letra muy poco usada en francés. Bueno, ya sabeis porqué le llamamos siempre así...





      Me gustaría acabar diciendo que esto es sólo un pequeño resumen. Tanto es así, que no se ha mencionado nada de China o de India, por ejemplo, que de manera independiente también trabajaron las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones.También resalto que no los resolvían con los mismos métodos que utilizamos hoy en día en las aulas,  ni eran tan sistemáticos. Los métodos que nosotros empleamos son muy sistemáticos y es el fruto de distintas aportaciones que se han ido realizando a lo largo de cientos o miles de años. Con el paso del tiempo se han ido fijando métodos para resolver las ecuaciones de la manera más fácil posible y, lo que es más importante, ha  ido evolucionando el lenguaje con el que las expresamos: el lenguaje algebraico.

      Ecuaciones

      El título lo dice todo...
      Ecuación para la supervivencia
      Ecuación fácil

      jueves, 27 de enero de 2011

      Los números más grandes

      Alguna vez me han preguntado en clase cuál es el número más grande que existe. Por supuesto, inmediatamente respondo que ese número no existe: si piensas en el número más grande que tu imaginación te permita, siempre podrás sumar 1 (por ejemplo) a ese número y, aunque no puedas imaginarlo, ya tendrás un número más grande que al principio.
      En fin, la mente es limitada y por muy inteligente que se sea hay números que, aunque no sean los más grandes, lo son bastante como para que nos cueste imaginarlos. DESAFIAD a vuestra imaginación con algunos ejemplos:

      • El gúgol. Así se llama al número: 10100  = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
      Nada más y nada menos... Una curiosidad de este número: el nombre del buscador "Google" se llama así gracias a este número. Los autores iban a llamarle "Googol", que es como se llama el número en inglés, pero mira por donde acabó llamándose "Google" debido a un error ortográfico.
      Otra curiosidad... ¿Por qué 10100 se llama gúgol? Según parece, el matemático Edward Kasner le encargó a un un sobrino de 9 años que se inventara un nombre para un número muy grande y el chiquillo contesto: googol
      El gúgol no es un número importante en Matemáticas, sólo es un número grande... Y no de los más grandes.
      • Leviatán. Es el nombre que se le da al número: (10666)! Lo último no significa una admiración, sino la operación "factorial". Por ejemplo: 4! = 4·3·2·1, 7! =7·6·5·4·3·2·1. Esa misma operación habría que hacerla con 10666 . El resultado sería un número con 10668  cifras, es decir, un 1 con 668 ceros, así que como comprendereis, no lo puedo escribir. Es más, si quisiéramos imprimir este número necesitaríamos tanto tiempo que el Universo llegaría a su fin antes de que nuestros descendientes terminaran con la tarea (eso dicen, no me he puesto a comprobar si es verdad o no).
      Curiosidad: leviatán es el nombre que se le dió a un monstruo marino creado por Dios en el Antiguo Testamento. Hoy en día se le da ese nombre a un gran monstruo del mar. No me extraña que se le diera ese nombre al número: es monstruosamente grande. Tan grande, que sólo se conocen las primeras 6 cifras de sus 10668 que tiene en total. 
      • El número de átomos que hay en el Universo. Se estima que dicho número entre 1072 1087 =10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (He puesto 76 ceros). Esto quiere decir que si contáramos todos los átomos del universo, no llegaríamos a contar el gúgol... Menos aún el leviatán.
      • El tamaño del Universo. Hay varias o muchas teorías al respecto y el tema es más complicado de lo que pueda parecer, pero, por lo visto, a groso modo, se puede decir que la distancia desde la Tierra hasta el confín del Universo es de alrededor de 1024 Km= 1000000000000000000000000 Km 
      Es curioso que, en realidad el Universo es lo más enorme que podemos imaginar... Hasta nos cuesta imaginar que tenga un tamaño. Sin embargo, visto en cifras y comparando estas con el gúgol o el leviatán ¡el Universo es muy pequeño!
      • Edad del Universo: Se estima que el Universo se originó hace 13700 millones de años= 13.700.000.000 años = 137·108  años.
      • Edad de la Tierra. Se estima que la Tierra se originó hace aproximadamente 4.600.000.000= 46·10 años.
      • Diámetro de la Tierra: 12756 Km = 12·103  Km. Si el tamaño del Universo parece muy pequeño en comparación el leviatán, comparadlo con el tamaño de la Tierra... La Tierra es minúscula... Pero como una mota de polvo microscópica en medio de un enorme desierto. En este contexto, recomiendo ver el video de "Potencias de 10" (colgado en este blog). Por supuesto, no puedo evitar recomendar también "Punto azul", narrado por Carl Sagan y subtitulado al castellano.
        Como puede verse, las Matemáticas tienen números mucho más grandes que los que encontramos en el Universo, que es lo más enorme que conocemos. 

        domingo, 23 de enero de 2011

        ¿Ecuaciones o acertijos? Anímate a hacer el cuestionario

        Ya se ha comentado en clase que las ecuaciones, básicamente, son acertijos. El lenguaje de las ecuaciones (lenguaje algebraico) y el método para resolverlas se inventaron precisamente para hacer más fácil resolver problemas... Y los problemas, en realidad, son acertijos. Muchos acertijos se vuelven más fáciles de tratar y de imaginar si los expresamos con el lenguaje algebraico.
        He realizado un cuestionario de 10 preguntas y que expongo a continuación. Las ecuaciones o acertijos que aparecen no son difíciles. Las dos primeras preguntas son curiosidades. Si no sabes las respuestas, te animo a que las busques en internet, son fáciles de encontrar. Si no, no te preocupes, descubrirás la respuesta correcta en el cuestionario. Para resolver los pequeños problemas, puedes hacerlo mentalmente o montarte tu ecuación para llegar a la solución (aseguro que es fácil).

        (Espero hacer otro para ecuaciones de 2º grado)


        ¿Dónde hay matemáticas?

        Hay tres motivos para que os dejo este video:

        1. Es un intento de responder a la pregunta que se hace tantas veces (la del titulo de la entrada).

        2. Quiero compartirlo en este blog es porque me parece bastante bonito, la verdad. No por las imágenes, sino por lo que se va comentando.

        3. A lo mejor, sirve de inspiración para hacer una fotografía matemática.

        Así que, aquí lo dejo. Si alguien quiere hacer algún comentario puede hacerlo aquí o en clase, por supuesto.


        Más viñetas...






        jueves, 13 de enero de 2011

        Cómo acordarse de las identidades notables

        En el siguiente vídeo da una explicación de cómo se puede entender una identidad notable. Si prestáis atención (son 4min) puede que os sirva bastante para recordar la expresión que hemos trabajado en clase.



        En el caso de la tercera identidad notable, os dejo el siguiente vídeo, que dura poco más de 2 min y que está muy bien:


        Historia del binomio de Newton

        La expresión del binomio de Newton es muy larga y al principio es difícil de entender, sin embargo, no deja de ser sólo una manera de expresar lo que se obtiene al calcular , cuando n es cualquier número natural

        Una curiosidad: Newton no fue quien lo descubrió, sino un ingeniero y matemático persa llamado Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji más de 600 años antes. Además, fue quien dio las reglas de las operaciones aritméticas con polinomios... Es decir, quien dijo que los polinomios se operan como lo hicimos en Diciembre. Si a alguien le gustaría hacer alguna reclamación, que tenga en cuenta que Al -Karaji murió hace 1000 años aproximadamente... Aunque, más vale agradecer que reclamar, ya que gracias a trabajos y estudios como el suyo las Matemáticas han ido desarrollándose. 
        Como sabeis, por los años en que vivieron Al-Karaji y Newton, no se hacían tantas publicaciones como hoy en día. El primero en publicar el invento del binomio de Newton no fue Newton, sino otro matemático llamado John Wallis, que fue quien dijo que el autor fue Newton.
                          
        Isaac Newton 1642-1727)                                 John Wallis (1616-1703)

        Binomio de Newton

        Como ya he dicho en clase, esto no entra en el examen, pero como lo hemos comentado, aquí va para los alumnos de 3º C la fórmula del "binomio de Newton", por eso de matar la curiosidad:
        (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} x^{n-k} y^k.

        Ya os comenté lo que significan los símbolos "!": se trata de una operación llamada factorial y que consiste en multiplicar el número por todos los números naturales menores que él hasta llegar al 1. Por ejemplo: 5!=5·4·3·2·1. El símbolo que aparece al principio significa que hay que hacer una suma de n términos, pero creo que explicarlo por aquí va a ser liar las cosas, así que si alguien quiere se lo digo en directo cuando estemos en clase.
        El binomio de Newton sirve para calcular cualquier potencia de cualquier binomio. En los casos de que n=2, n=3 y n=4 se obtiene a partir de la fórmula anterior:

        \begin{cases}
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \end{cases}

        Como podeis ver, cuando el exponente es 3 ó 4 se obtienen unas expresiones algo más largas que las que hemos dado en clase. La primera de las expresiones anteriores es la que hemos trabajado en clase.

        Como anécdota os dejo la imagen de abajo. Es, al parecer de un examen. En el enunciado se pide expandir , es decir, escribir el binomio de Newton... Pero el alumno, en lugar de esto, interpretó la palabra "expandir" como mejor le convino... O pudo.

        Viñetas de matemáticas








        lunes, 3 de enero de 2011

        Potencias de 10: desde lo más grande hasta lo más pequeño

        Con ayuda de las potencias con base 10, en este video se hace un fugaz viaje hasta lo más lejano y enorme y hasta lo más pequeño y a la vez cercano. ¿Cómo?
        Imagina que sentado donde estás, subes 10m sobre el suelo, luego multiplicas la distancia por 10, es decir, subes 100m sobre el suelo, luego 1000m, después 10000m... Y así sucesivamente. Esto es, cada vez que te movieses, multiplicarías por 10 tu distancia al suelo. Dicho de otra manera, cada vez que te alejaras del suelo, lo harías en una potencia de 10, siendo el exponente un número natural. Conforme vas aumentando el exponente, más te vas alejando y la perspectiva que tienes de cuanto te rodea cuando estás en el suelo cambia de una manera alucinante.
        El viaje a lo más pequeño, comienza en nuestra misma piel. En este caso en el video se ve cómo vería todo si te hicieses 10 veces más pequeño repetidas veces. ¿Cómo verías la mano de tu hermano o de tu hermano si fueses 10 veces más pequeño? ¿Y si después te hicieses otras 10 veces más pequeño y así sucesivamente? Pronto dejarías de reconocer lo que verías y llegaría un momento en que verías los átomos. En este caso el exponente de 10 sería un número entero negativo. Hacer 10 veces más pequeño es lo mismo que dividir entre diez o multiplicar por 10 elevado a -1.
        Espero que os guste el video, es muy interesante.

        Fotografía matemática

        No es muy original el comentario de que estamos rodeados de matemáticas, pero quizá hay que recordarlo de vez en cuando porque no todo el mundo se da cuenta de ello... Y también hay que parase a mirar lo que nos rodea. Por eso, para llamar la atención sobre la presencia de las Matemáticas en nuestra vida, se vienen haciendo desde hace tiempo en algunos institutos concursos de "fotografía matemática". Se trata de presentar una foto con algún contenido matemático... Cuidado, esto no significa que haya que ser un experto en fotografía, ni que haya que hacer una foto muy complicada... Quizá, un buen truco sea detenernos a observar más lo que nos rodea y buscar el aspecto matemático que contiene. Para dar ideas, aquí pongo un par de enlaces a páginas que contienen fotografías premiadas en años anteriores (especialmente el segundo):


        Os pueden servir de inspiración para hacer vuestras propias fotografías. Por supuesto, se valorará el contenido matemático de la fotografía y la calidad plástica de esta.
        Bases del concurso
        Cada uno podrá presentar al concurso tantas fotos como quiera. Eso sí, cada una de ellas irá acompañada de un fichero de texto donde se indicará los datos personales del autor, el curso donde está, el título de la foto y un comentario sobre el contenido matemático de la foto. Hay de plazo hasta el 18 de Marzo.
         Habrá cuatro premios: uno para 1º ESO, otro para 2º ESO, para 3º ESO y otro para 4º ESO.
        Enviar las fotos a: angelesrutep@gmail.com