sábado, 26 de marzo de 2011

Divina proporción en la naturaleza

La proporción áurea aparece en un sinfín de casos en la naturaleza. Uno de ellos es la proporción entre distintas partes de nuestro propio cuerpo, como expuse brevemente en la entrada "Cuerpo áureo". Pero hay muchos más ejemplos, realmente innumerables: la razón del diámetro del tronco de un árbol y el de las primeras ramas que salen de él es áurea, al igual que la razón entre las nervaduras de las hojas.  Los siguientes ejemplos son bastante evidentes siguiendo el hilo de "número de oro" en este blog:
Al cortar una manzana transversalmente nos encontramos con un pentagrama, al igual que en la estrella de mar
La galaxia M101 a 25 millones de a.l , el tifón Rammasun y trazas dejadas por partículas subatómicas en una cámara de burbujas del CERN

Tan diferentes en tamaño (la galaxia tiene una 170000 a.l. de anchura y el tifón unos 1000 Km), estando uno a millones de años luz de distancia y el otro aquí en nuestro planeta,  las dos estructuras tienen en común el tener la misma geometría: una espiral logarítmica. A una escala muchísimo más pequeña, lo mismo ocurre a cuando se registran en una cámara de burbujas las trazas dejadas por partículas subatómicas, como los electrones o los protones, producidas tras la colisión de dos partículas iniciales.
Ojo de santa lucía
Poniendo nuevamente los pies en la tierra a la escala a la que estamos habituados y dando un paseo por la playa, nos podemos encontrar con la llamada "ojo de santa lucía".
La espiral logarítmica que más aparece en los libros y en la red es el caparazón del nautilus.


Y un caso que me parece verdaderamente curioso: en la población de abejas en una colmena. Según parece la razón entre las abejas macho y las abejas hembra es el número phi. Esto tiene que ver con la vinculación que hay entre el número áureo y la llamada sucesión de Fibonacci. Esta sucesión es la siguiente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Cada número es la suma de los dos anteriores. Ejm: 13 = 5+8. La sucesión tiene infinitos términos.
Si llamamos an  al n-ésmo término de la sucesión y an+1  al término siguiente, se tiene que cuanto más lejos nos vamos en la sucesión, es decir, cuanto más grandes sean los términos, la razón:
a/an+1 
tiende al número phi. Esto se puede comprobar fácilmente: 8/5 = 1.6 ; 13:8 = 1.625 ; 21/13 = 1.615... Y así sucesivamente, de donde se obtiene una difinición del número de oro diferente a la de las entradas anteriores.
Como es sabido la comunidad de una colmena es peculiar: los machos (zánganos) dedican su vida a fecundar huevos de la reina, la cual vive exclusivamente para poner huevos. De los huevos fecundados se producen las abejas hembras (las obreras) y de los que no son fecundados, los machos. Supongamos entonces, que tenemos un zángano y nos ponemos a hacer su árbol genealógico (clicar para ver más grande):
Cada generación está escrita en un color diferente. A continuación está escrita la cantidad de abejas en cada genración (negro). Al lado, en azul, están la cantidad de hembras de esa generación y en rojo la cantidad de zánganos.
Como puede verse, el número total de antepasados del zángano sigue la sucesión de Fibonacci: 
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... 
Por otro lado, también el número de hembras en cada generación:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,13 ...
Y el número de machos en cada generación:
1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...
Si dividimos el número de hembras entre el número de machos en cada generación se puede apreciar que el resultado tiende al número de oro conforme consideramos generaciones más anteriores.
Teniendo en cuenta que la comunidad de la colmena es cerrada, la proporción entre machos y hembras en la población será esa.
En el reino vegetal, la sucesión de Fibonacci y el número phi están especialmente presentes... Tanto en las 
dimensiones de hojas, como en la distribución de estas a lo largo del tallo, en la distribución de las semillas en un girasol o en una margarita, en el número de pétalos de una margarita, en los pétalos de una rosa...


Diente de león: sus semillas
se distribuyen como las de un girasol


Erizo de mar, donde las espinas se distribuyen como
las semillas en el diente de león
Imágenes de: http://es.123rf.com

Dejo el siguiente video que me parece bastante interesante:
En él aparece el ángulo 137.5º, llamado ángulo áureo porque está muy relacionado con el número  de oro. Ese es el ángulo con el que se van dispersando las semillas del girasol conforme van surgiendo.. Y es también el ángulo que forman entre sí las hojas en el tallo de una flor. El tallo comienza teniendo forma cónica y el primer par de hojas salen en la base, que es más ancha. Las próximas dos hojas salen cuando el tallo ha crecido más separadas por el mismo ángulo entre ellas 137.5º... Y así sucesivamente. De esta forma, después de haber brotado 4 pares de hojas, estas no se hacen sombra las unas a las otras cuando el sol está en el punto más alto. Las hojas quedan repartidas de forma uniforme, por igual y con eficacia.
Realmente, hay innumerables ejemplos y siento el impulso de ponerlos todos, porque no dejo de sorprenderme. Unido esto a que se le vincula también a la belleza y la armonía, la proporción áurea fue también llamada la “divina proporción”. Las formas de los ejemplos anteriores y las proporciones no son así por casualidad. El número áureo 1.62 (aprox) es una especie de protagonista, a la naturaleza le gusta este número. La pregunta inevitable es ¿por qué?. Si consideramos que la naturaleza no tiene conciencia, que las plantas no piensan cómo distribuir sus hojas, lo mismo que nosotros no decidimos las proporciones de nuestro propio cuerpo (hasta que alguien decide ponerse unos labios descomunales que casi no puede cerrar)... Y teniendo en cuenta que a la naturaleza le gusta optimizar (con la mínima energía es mejor, por no decir, que si no es con la mínima no lo hace) y lo que perdura es lo eficaz, la respuesta tiene que estar en esa dirección.  
Nautilus
Ejemplo de ello es el caso del número y distribución de hojas alrededor de un tallo, como se expuso brevemente arriba. Otro ejemplo fácil de explicar es el del nautilus. Conforme este va creciendo y se van creando más cámaras en su interior, estas van siendo cada vez más grandes. Si la forma de la concha se mantiene durante el crecimiento, resulta finalmente una espiral logarítmica. Bueno, en realidad no es una espiral logarítmica exacta, pero se le asemeja bastante, tal y como se puede ver en la siguiente figura (clicar para ver aumentada):
El mismo origen tiene la bonita espiral que aparece en el ojo de santa lucía. No ocurre lo mismo cuando, por ejemplo, un gusano ya formado se enrolla de sí mismo. La espiral que forma no es la misma que en el nautilus o el caracol porque el grosor del gusano es igual a lo largo. En este caso, la espiral es llamada de Arquímedes y la distancia entre los brazos es siempre la misma.

Se han realizado muchos estudios sobre la presencia del número phi en la naturaleza. La Filotaxis nació como una rama de la Botánica dedicada al estudio de las proporciones y distribución de las hojas en los tallos. Pero aún hay más, las Matemáticas siguen jugando un gran papel a la hora de modelar distintos procesos biológicos, aún pueden seguir ayudándonos a estudiar y entender el mundo en el que vivimos.
Por otro lado, dando la vuelta a la frase anterior, la naturaleza puede nutrir a las Matemáticas como dijo Fourier: “El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos” y yendo más allá, no sólo "matemáticos".
Somos una pequeña parte de la naturaleza y puede que esa sea la razón de que nos sintamos tan atraídos por la “divina proporción”, que la asociemos con las proporciones bellas y hayan existido y existan muchos que hagan obras de arte utilizándola.


No puedo evitar volver a dejar el siguiente vídeo que me sigue pareciendo precioso (con él puse la primera entrada en el blog) y después del cual un mosquito deja de ser, simplemente, un bicho y pasa a ser una obra maestra. No dejo de preguntarme ¿por qué no se habla apenas de estas cosas en Secundaria?
video


Bibliografía:

    lunes, 21 de marzo de 2011

    Proporción áurea en objetos cotidianos

    La proporción aúrea es tenida en cuenta en el diseño de numerosos objetos cotidianos. El carnet de identidad no tiene las dimensiones que tiene por casualidad, se diseño según un rectángulo aúreo (la longitud entre la altura es el número phi). Vamos a examinar distintos objetos de nuestro alrededor para comprobar la existencia del número de oro:    
    • Tarjeta de crédito, carnets de identidad, tarjetas de presentación... Todos estos tipos de tarjeta tienen las mismas dimensiones y son un rectángulo aúreo. ¿Creías que se trataba de un rectángulo cualquiera, elegido al azar? Pues no. Para comprobar que es aúreo, sólo hay que dividir el lado más grande entre el lado más pequeño y comprobar que el resultado es aproximadamente 1.62.










    • Ipod. Hay distintos modelos, pero no es bastante común encontrar uno con forma de rectángulo aúreo. En la figura aparece también dibujada encima la espiral logarítmica (no, no va dibujada sobre el ipod real). Por supuesto, ahora hay mp4 y ipod más pequeños y más cuadrados... Al igual que antes, es fácil comprobar si son rectángulos aúreos. 
    ipod_goldenratio.jpg

    Y sin necesidad de calcular nada, se puede hacer la comprobación como se indica en la imagen de la derecha: la prolongación de la diagonal del primer retángulo pasa por el vértice superior derecho del mismo ipod colocado perpendicularmente.
    • Algunos teléfonos móviles son también rectángulos aúreos.
    • Caja de cigarrillos. ¿Una forma de hacer más atractivo un producto perjudicial para la salud?

    • Según las estadísticas, la fotografía de la izquierda es estéticamente mejor que la de la derecha. ¿Tú qué opinas? Esta afirmación no significa que a todo el mundo le guste más la primera, sino a la mayoría. La diferencia entre ambas es que la de la izquierda está inscrita en un rectágulo aúreo.
                   










      • Si observamos nuestro alrededor podemos seguir encontrando la "divina proporción": muebles, cuadros, libros de bolsillo...













      Bibliografía:

        domingo, 13 de marzo de 2011

        Cuerpo áureo

        Imagen de proofmathisbeautiful
        Por alguna razón, la proporción entre distintas partes del cuerpo humano es o se acerca al número phi. No es una excepción, esta proporción aparece en innumerables casos en la naturaleza. Es más, parece ser que cuanto más bello y más proporcionado se considera un cuerpo, las proporciones entre las distintas partes de este se acercan más al número aúreo.
        La siguiente figura está basada en el dibujo " El hombre ideal" u "hombre de Vitrubio", realizado por Leonardo da Vinci , quien comenzó el libro "Tratado de la pintura" con la frase: "Nadie lea mis obras que no sea matemático". Da Vinci relacionó en el dibujo las proporciones ideales del cuerpo humano con la geometría.
        En la figura se indican con números distintas partes del cuerpo humano y en la esquina inferior izquierda cuáles de ellas tienen la proporción áurea:
        • Nuestra altura y la altura a la que está el ombligo.
        • La altura de la cadera y la altura de la rodilla.
        • La distancia del hombro a la punta de los dedos y la distancia del codo a la punta de los dedos.
        • Distancia del codo a la punta de los dedos y longitud de la mano.
        Como curiosidad hay que decir que cuando el "hombre perfecto" abre los brazos en cruz, queda inscrito en un cuadrado centrado en los genitales. Por otro lado, la circunferencia que aparece está centrada en el ombligo. En estas condiciones, se tiene, además, que la razón del lado del cuadrado y del radio de la circunferencia es el número áureo. El dibujo de Da Vinci simbolizaba algo más: al quedar el hombre inscrito en un cuadrado y un círculo, se situaba al hombre en el centro del Universo, símbolo que ya habían intentado anteriormente otros artistas. En realidad el proceso fue inverso al que he descrito, es decir, primero se inscribió al hombre en el cuadrado y el círculo y, a partir, de aquí, las proporciones anteriores de las distintas partes del cuerpo resultaron ser áureas... ¿No es realmente curioso?
        Por otro lado, considerando sólo la mano, podemos encontrar la proporción áurea entre distintos huesos de la mano:


        Y subiendo a la cabeza, también en las orejas:
        La oreja aparece inscrita en un rectángulo áureo y, en este caso, es parte de una espiral logarítmica
        Y también en la cara, que al parecer, se considera más atractiva cuanto más se acercan al número áureo distintas proporciones, como:


        • La altura de la cara y la distancia de la barbilla a los ojos.
        • La distancia de la barbilla a la nariz y la altura a la que está la unión de los dos labios
        Y dentro de la boca:

        Quien lo iba a decir... También lo tenemos entre los dientes... Aunque he de decir que me parece bastante raro... Y que en este caso, más que en cualquier otro, es importante la estadística.
        En el siguiente video se habla de la relación entre lo que consideramos un bello rostro y las proporciones anteriores. Al parecer un cirujano plástico ha investigado si la belleza se puede medir. Para ello ha hecho una encuesta curiosa a gente de edades y culturas diversas. Según dice, el estudio arroja el resultado de que hay una belleza común a todas las culturas y edades y es la que posee un rostro simétrico y saludable... Y con unas proporciones áureas. Esto hace sentir incómodo si uno piensa que la belleza es algo subjetivo y, por tanto, no se puede medir ni establecer un canon de belleza objetivo. Pero también es verdad que puede que no haya que ser tan radical... Y pensar que lo que es común en todos los cánones de belleza es algo muy básico, algo tan básico como la simetría o unas proporciones armoniosas que sugieran que la persona es saludable... Aquí es donde entraría en juego el número phi, tan frecuente en las estructuras naturales.


        Para no asociar de manera errónea o en extrema la belleza al dichoso número... Voy a dejar colgado el siguiente perfil que hizo Leonardo da Vinci para el estudio de la divina proporción. Si las proporciones son las justas... El del dibujo sigue siendo feo... Pero feo... Lo que da cierta esperanza a los que no somos muy guap@s.
        El "hombre perfecto" también se puede interpretar como el "promedio" de los hombres. Esto quiere decir que, individualmente, cada uno podemos alejarnos del "cuerpo" o "rostro" ideal o áureo, pero si tuviésemos en cuenta las medidas de toda la población mundial, la mayoría o la media de las distintas proporciones, se acercaría mucho a la áurea. Esto se ha comprobado con distintos estudios estadísticos, como el mencionado en el vídeo anterior o el estudio del padre de la Estadística moderna: Lambert Quételet en el siglo XIX.
        Más allá de lo que vemos, la proporción entre el diámetro de la tráquea y el de los primeros bronquios, también es 1.62

        martes, 8 de marzo de 2011

        El número de oro



        Martin Gadner dejó la siguiente frase: "No existen números carentes de interés, pues de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés". Aún así, nos topamos con números especialmente atractivos... Uno de ellos es el número áureo, número de oro, proporción aúrea, divina proporción... Es llamado de varias formas y todas ellas tienen en común que evocan algo mágico en este número.
        Personalmente, me resulta algo curioso que no se mencione más en la ESO, mientras que, sin quitar méritos, todo el mundo, al menos, ha oído algo del número pi. Sin embargo, hay razones para que sea más mencionado, dado que está tan presente en la naturaleza, en el arte y en el diseño de muchos objetos cotidianos.
        En el siglo III a.C. Euclides descubrió que dicho número es irracional (no se puede expresar mediante una fracción) y, por tanto, es un número no periódico con infinitas cifras decimales, al igual que el número pi. Aún así, A. Yee tiene el récord actual de cifras calculadas del número áureo, al igual que del número pi. En el año 2010 logró calcular el primer billón de cifras, lo que puede verse en el enlace:
        De cualquier forma, el valor exacto de phi viene dado por:
         \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
        Lo que tiene un valor aproximado de: 1,618339887... o, redondeando en las centésimas, como en el caso del número pi: 1,62.
        RELACIÓN CON ECUACIONES DE 2º GRADO
        Relacionando con las ecuaciones de segundo grado, phi es una de las soluciones de la ecuación (por lo que es un número algebraico):
        lo que implica que:
        Es decir, podemos averiguar el cuadrado de phi tan solo sumándole 1.
        PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
        Pero aparte de esto, ¿qué es el número áureo? Euclides lo definió, no a través de la ecuación anterior, sino como la proporción entre dos segmentos:
        Dos segmentos tienen la proporción aúrea cuando al dividir sus longitudes se obtiene el número phi.

        RECTÁNGULO ÁUREO
        Es un rectángulo en el cual la longitud y la altura tienen la proporción aúrea.
        El rectángulo ADFE es áureo.
        De la figura puede deducirse como se construye a partir de un cuadrado
        El rectángulo sombreado BCFE también es áureo y, por lo tanto, semejante al rectángulo ADFE.
        Hay otra manera de comprobar si un rectángulo es áureo sin necesidad de calcular nada. Consiste en copiarlo, girar la copia 90º y ponerlos como en la figura siguiente:
        Si al prolongar la diagonal del rectángulo, esta coincide con el vértice superior de la copia girada, el rectángulo será áureo.
        ESPIRAL LOGARÍTMICA
        Si el rectángulo áureo lo dividimos como aparece en la figura anterior, se obtiene que el rectángulo más pequeño: BCFE es también un rectángulo áureo y podemos volver a dividirlo de la misma manera. Haciendo esto sucesivas veces se obtendría la figura siguiente:

        Si vamos uniendo los vértices mediente un arco como en el primer rectángulo se obtiene la siguiente espiral, llamada espiral logarítmica:

        Dicha espiral es la que se obtendría al enrollar una cuerda sobre un cono y luego se aplastara sobre un plano.
        Una curiosidad: el matemático Jacob Bernouilli (1654-1705) se interesó tanto por las espirales que dispuso  que grabaran en su tumba una espiral  con la frase "Eadem mutato resurgo", que significa: "Aunque transformado, resurjo siempre igual". Sin embargo, por un motivo u otro, no siempre se cumplen ese tipo de deseos. En este caso, el encargado de grabar la espiral acabó grabando otra no logarítmica... Me pregunto si alguien cercano a Bernoulli se quejaría... O todos pasarían... O pasó desapercibido.
        Imagen de proofmathisbeautiful
         
        Tumba de J. Bernouilli
        PENTÁGONO REGULAR Y TRIÁNGULO ÁUREO
        Si dibujamos un pentágono regular el triángulo áureo AED es el triángulo isósceles formado por la base y la unión con el vértice, como aparece en la figura (clicar sobre ella para verla mejor):
        La proporción entre los lados mayores y la base es el número áureo.
        Los triángulos semejantes al anterior, como la punta de la estrella: AGB son también áureo.
        El pentagrama (la estrella) inscrito en el pentágono contiene la proporción aúrea cada vez que comparamos dos segmentos que intersectan... Por otro lado, como puede observarse, en el centro queda definido otro pentágono en el que podemos inscribir otro pentágono, operación que matemáticamente puede repetirse hasta el infinito (otra cosa es en la práctica) (clicar sobre la figura para verla más grande). 
          
        Lo mismo ocurre con cada uno de los triángulos áureos que forman una punta del pentagrama: dicho triángulo pertenecerá a su vez a otro pentagrama de menor dimensión, que a su vez estará inscrito en otro pentágono regular... Y por este camino, se puede enlazar con la idea de fractal. Ni Pitágoras, ni Euclides manejaban este último concepto, pero no extraña que se sintieran maravillados por la simetría de esta figura.
        Para los pitagóricos, según los cuales "Todo es número" (todo el Universo está basado en números) el número cinco simbolizaba la armonía en la salud y la belleza. De hecho, parece ser que la estrella que queda inscrita (pentalfa) era el distintivo para identificar a los miembros de su secta secreta. Con el paso de los siglos ese símbolo ha pasado por la Masonería, por ser símbolo de las estrellas de Hollywood, por las banderas de países como Marruecos... Curiosamente, las estrellas del cielo se representan con ese símbolo desde hace miles de años, puesto que se han encontrado en tablillas mesopotámicas y en jeroglíficos egipcios.

        LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
        El número phi es el límite de la siguiente sucesión:

        Por otro lado, también es el límite de esta sucesión fácil de recordar:
        \varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}

        Curiosamente, estas expresiones evocan la idea de fractal. Si hiciéramos un zoom sobre los puntos suspensivos encontraríamos lo mismo... Y aumentando otra vez sobre los mismos puntos... Si ese zoom se hiciese infinitas veces encontraríamos exactamente las mismas operaciones en el mismo orden que podemos ver ahora.
            En las siguientes entradas de este blog haré hincapié en la presencia de las figuras anteriores: el rectángulo áureo, el triángulo, la espiral... En nosotros mismos, la naturaleza, el diseño y el arte:

            He cogido información y se puede ver más en los siguientes enlaces:
        "La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza". Fernando Corbalán. Ed. RBA.
        Videos tu.tv