martes, 8 de marzo de 2011

El número de oro



Martin Gadner dejó la siguiente frase: "No existen números carentes de interés, pues de haberlos, el primero de ellos ya sería interesante a causa de esa misma falta de interés". Aún así, nos topamos con números especialmente atractivos... Uno de ellos es el número áureo, número de oro, proporción aúrea, divina proporción... Es llamado de varias formas y todas ellas tienen en común que evocan algo mágico en este número.
Personalmente, me resulta algo curioso que no se mencione más en la ESO, mientras que, sin quitar méritos, todo el mundo, al menos, ha oído algo del número pi. Sin embargo, hay razones para que sea más mencionado, dado que está tan presente en la naturaleza, en el arte y en el diseño de muchos objetos cotidianos.
En el siglo III a.C. Euclides descubrió que dicho número es irracional (no se puede expresar mediante una fracción) y, por tanto, es un número no periódico con infinitas cifras decimales, al igual que el número pi. Aún así, A. Yee tiene el récord actual de cifras calculadas del número áureo, al igual que del número pi. En el año 2010 logró calcular el primer billón de cifras, lo que puede verse en el enlace:
De cualquier forma, el valor exacto de phi viene dado por:
 \frac{\sqrt{5} + 1}{2}
Lo que tiene un valor aproximado de: 1,618339887... o, redondeando en las centésimas, como en el caso del número pi: 1,62.
RELACIÓN CON ECUACIONES DE 2º GRADO
Relacionando con las ecuaciones de segundo grado, phi es una de las soluciones de la ecuación (por lo que es un número algebraico):
lo que implica que:
Es decir, podemos averiguar el cuadrado de phi tan solo sumándole 1.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Pero aparte de esto, ¿qué es el número áureo? Euclides lo definió, no a través de la ecuación anterior, sino como la proporción entre dos segmentos:
Dos segmentos tienen la proporción aúrea cuando al dividir sus longitudes se obtiene el número phi.

RECTÁNGULO ÁUREO
Es un rectángulo en el cual la longitud y la altura tienen la proporción aúrea.
El rectángulo ADFE es áureo.
De la figura puede deducirse como se construye a partir de un cuadrado
El rectángulo sombreado BCFE también es áureo y, por lo tanto, semejante al rectángulo ADFE.
Hay otra manera de comprobar si un rectángulo es áureo sin necesidad de calcular nada. Consiste en copiarlo, girar la copia 90º y ponerlos como en la figura siguiente:
Si al prolongar la diagonal del rectángulo, esta coincide con el vértice superior de la copia girada, el rectángulo será áureo.
ESPIRAL LOGARÍTMICA
Si el rectángulo áureo lo dividimos como aparece en la figura anterior, se obtiene que el rectángulo más pequeño: BCFE es también un rectángulo áureo y podemos volver a dividirlo de la misma manera. Haciendo esto sucesivas veces se obtendría la figura siguiente:

Si vamos uniendo los vértices mediente un arco como en el primer rectángulo se obtiene la siguiente espiral, llamada espiral logarítmica:

Dicha espiral es la que se obtendría al enrollar una cuerda sobre un cono y luego se aplastara sobre un plano.
Una curiosidad: el matemático Jacob Bernouilli (1654-1705) se interesó tanto por las espirales que dispuso  que grabaran en su tumba una espiral  con la frase "Eadem mutato resurgo", que significa: "Aunque transformado, resurjo siempre igual". Sin embargo, por un motivo u otro, no siempre se cumplen ese tipo de deseos. En este caso, el encargado de grabar la espiral acabó grabando otra no logarítmica... Me pregunto si alguien cercano a Bernoulli se quejaría... O todos pasarían... O pasó desapercibido.
Imagen de proofmathisbeautiful
 
Tumba de J. Bernouilli
PENTÁGONO REGULAR Y TRIÁNGULO ÁUREO
Si dibujamos un pentágono regular el triángulo áureo AED es el triángulo isósceles formado por la base y la unión con el vértice, como aparece en la figura (clicar sobre ella para verla mejor):
La proporción entre los lados mayores y la base es el número áureo.
Los triángulos semejantes al anterior, como la punta de la estrella: AGB son también áureo.
El pentagrama (la estrella) inscrito en el pentágono contiene la proporción aúrea cada vez que comparamos dos segmentos que intersectan... Por otro lado, como puede observarse, en el centro queda definido otro pentágono en el que podemos inscribir otro pentágono, operación que matemáticamente puede repetirse hasta el infinito (otra cosa es en la práctica) (clicar sobre la figura para verla más grande). 
  
Lo mismo ocurre con cada uno de los triángulos áureos que forman una punta del pentagrama: dicho triángulo pertenecerá a su vez a otro pentagrama de menor dimensión, que a su vez estará inscrito en otro pentágono regular... Y por este camino, se puede enlazar con la idea de fractal. Ni Pitágoras, ni Euclides manejaban este último concepto, pero no extraña que se sintieran maravillados por la simetría de esta figura.
Para los pitagóricos, según los cuales "Todo es número" (todo el Universo está basado en números) el número cinco simbolizaba la armonía en la salud y la belleza. De hecho, parece ser que la estrella que queda inscrita (pentalfa) era el distintivo para identificar a los miembros de su secta secreta. Con el paso de los siglos ese símbolo ha pasado por la Masonería, por ser símbolo de las estrellas de Hollywood, por las banderas de países como Marruecos... Curiosamente, las estrellas del cielo se representan con ese símbolo desde hace miles de años, puesto que se han encontrado en tablillas mesopotámicas y en jeroglíficos egipcios.

LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
El número phi es el límite de la siguiente sucesión:

Por otro lado, también es el límite de esta sucesión fácil de recordar:
\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}

Curiosamente, estas expresiones evocan la idea de fractal. Si hiciéramos un zoom sobre los puntos suspensivos encontraríamos lo mismo... Y aumentando otra vez sobre los mismos puntos... Si ese zoom se hiciese infinitas veces encontraríamos exactamente las mismas operaciones en el mismo orden que podemos ver ahora.
    En las siguientes entradas de este blog haré hincapié en la presencia de las figuras anteriores: el rectángulo áureo, el triángulo, la espiral... En nosotros mismos, la naturaleza, el diseño y el arte:

    He cogido información y se puede ver más en los siguientes enlaces:
"La proporción áurea. El lenguaje matemático de la belleza". Fernando Corbalán. Ed. RBA.
Videos tu.tv

2 comentarios:

Anónimo dijo...

Estupendos razonamientos y descubrimiento, aunque muy antiguo, el nº aureo, de infinitos decimales, al igual que el nº pi. Pero para los que tengan poca vista desearían que se pudiera grabar en ootro color más oscuro, ya que casi ni se ven las líneas interiores de los polígonos.Una cara simétrica sí que es agradable de mirar. Fwelicitaciones.

Ángeles Rute dijo...

Ante todo gracias por el comentario. Pero aún me gustaría seguir añadiendo algo más.
Además, tienes razón, las lineas interiores de los polígonos no se ven muy bien. Estoy buscando una imagen mejor que me guste. Como me está costando trabajo, también estoy pensando en la posibilidad de hacerla yo, aunque esto me va a llevar un tiempo.
El tema del número aúreo es interesante y está acompañado de bastantes curiosidades.