domingo, 31 de julio de 2011

Multiplicar con los dedos

A pesar de ser algo en lo que se machaca desde pequeños, parece que cuesta bastante eso de aprenderse las tablas de multiplicar. Normalmente se aprenden memorizándolas y se ahorra trabajo si se cae en la cuenta de que, por ejemplo, 7·8=8·7 (propiedad conmutativa). Otro método, por supuesto, para saber el resultado es sumar 7 ocho veces... Y aunque acaba resultando un verdadero rollazo, a fuerza de practicarlo uno acaba memorizando: 7·8=56. Pues aquí va un método para conocer los resultados de las tablas del 6 al 9...
Para ello, utilizaremos los dedos de las dos manos. La izquierda la utilizaremos para contar el primer número, la de la derecha para el segundo número. Por ejemplo:
7·8
Con la mano izquierda abierta contamos bajando números hasta el 7. Para ello, cuando llegamos al 5 y ya hemos bajado todos los dedos, comenzamos a subirlos de nuevo. De esta manera nos quedarán 2 subidos.
Sin cambiar la mano izquierda, con la mano derecha hacemos lo mismo con el 8. Al final nos quedarán 3 dedos subidos.
Al final tenemos, en total, 5 dedos subidos (3 en la derecha y 2 en la izquierda). Pues el 5 serán las decenas del resultado de 7·8.
¿Cuáles serán las unidades? Más sencillo: la multiplicación de los dedos bajados en ambas manos. En la izquierda tendremos 3 dedos bajados y en la derecha tendremos 2, por lo que 3·2=6.
Así pues, el resultado será: 7·8=56.
Si leyéndolo es un lío, aquí dejo este vídeo cogido de youtube si se descarga rápido. Una diferencia, en lugar de ir contando con los dedos de una mano, en el vídeo, simplemente, enumera los dedos del 6 al 9 comenzando con el pulgar: el resultado es el mismo.

En el vídeo, además, vienen más ejemplos y es muy fácil practicarlo.
Otra versión del mismo método lo explica muy bien un niño en el siguiente vídeo:

Ahora... ¿Por qué funciona? Para ello, llamemos a al número de dedos bajados en la mano izquierda y b al número de dedos bajados en la derecha. Se tendrá que:
10-a será el primer número que queremos multiplicar y 10-b el segundo número.
Por tanto, la multiplicación que queremos hacer es:
(10-a)·(10-b)
(En el caso del ejemplo que escribí anteriormente: 7·8, a es 3 y b es 2, por lo que: 10-3=7 y 10-2=8)
Al realizar la multiplicación anterior, el resultado es:
100 - 10a - 10b + ab = 100 - 10(a+b)+ab=10·[10-(a+b)]+ab
Si a+b es el total de dedos bajados, 10-(a+b) es el total de dedos subidos. Como estos aparecen multiplicados por 10, representarán las decenas. El número de dedos bajados en la mano izquierda a multplicado por los de la mano derecha b será las unidades.
Por lo visto, este método de multiplicación digital se sigue practicando en la India, Irán, Siria, norte de África, Indonesia... Pero no se sabe a quien se le ocurriría.
Esta entrada la he cogido de:
"La creatividad en Matemáticas". Miquel Alberti. Ed. RBA
Eso sí, he cambiado dedos subidos por bajados para no liar con los vídeos.

viernes, 29 de julio de 2011

Para ver fractales sencillos

Un enlace para mostrar algunos fractales sencillos (con Geogebra) y cómo se construyen:

Actividades con sistema de unidades


  • Unos enlaces para 1º y 2º de ESO para operar con el sistema sexagesimal:
  1. http://www.genmagic.net/SISTEMA SEXAGESIMAL 
  2. http://www2.gobiernodecanarias.org/SISTEMA SEXAGESIMAL Y ÁNGULOS 
  • Este otro para cambiar de unidades con factores de conversión (1º y 2º ESO):
http://www.genmagic.net/CAMBIAR DE UNIDADES

Actividades con notación científica

  • Una buena actividad para practica la notación científica en 2º y 3º ESO:
http://www.genmagic.net/NOTACIÓN CIENTÍFICA
  • Un enlace bueno con actividades con notación científica, aunque sea para hacer con lápiz y papel:
aulamatematica.com/NOTACIÓN CIENTÍFICA

Actividades de monomios y polinomios

  • Este enlace está muy bien para 2º ESO:
http://clic.xtec.cat/
  • En el siguiente enlace se puede hacer actividades de suma y resta de polinomios para 1º, 2º y 3º de ESO. Inconveniente: no vale para producto.
  • En este otro enlace hay todo tipo de actividades de polinomios (3º y 4º ESO, 1º BACHILLERATO): suma, resta, multiplicación, división (también con Ruffini), sacar factor común, teorema del resto, mcm y MCD, factorización... Además vienen explicaciones:
http://www.juntadeandalucia.es/ÁLGEBRA CON PAPAS
  • En este otro se encuentran las mismas actividades que en "Álgebra con papas", pero más ordenadas:

Actividades de identidades notables

Imagen de proofmathisbeautiful
  • En el siguiente enlace se pueden practicar de forma sencilla las identidades notables para 2º de ESO Y 3º de ESO. Ir directamente a "pequeño taller"
http://www.genmagic.net/IDENTIDADES NOTABLES
  •  En la siguiente, muchas actividades para hacer en el ordenador. Además viene con explicaciones y demostración geométrica:
http://www.juntadeandalucia.es/ÁLGEBRA CON PAPAS IDENTIDADES NOTABLES

Actividades con fracciones

Para comenzar con fracciones, el siguiente video (1º ESO):



  • El siguiente enlace es para 1º de ESO. En él se puede practicar el concepto de fracción:
  • En este otro se practica mentalmente las operaciones con las fracciones. Muy bueno para 1º y 2º ESO
  • Este enlace es en inglés, pero al no tener apenas texto, se puede hacer con los no bilingües también. Contiene para diferentes operaciones: simplificar hasta la irreducible, sumar, dividir, etc
http://www.math-play.com/soccer-math.html
  • De la misma página en inglés, con la colección completa de diferentes juegos:
http://www.math-play.com/math-fractions-games.html

Actividades para números enteros

  • En este enlace se pueden hacer actividades muy sencillas de números enteros, tanto para 1º de ESO, como para repasar o reforzar en 2º de ESO. No se hacen operaciones, sólo situarlos en la recta real y compararlos.
http://www.genmagic.net/NÚMEROS ENTEROS


Este enelace está muy bien para 1º ESO:
http://irati.pnte.cfnavarra.es/multiblog/jrodrig3/sexto/matematicas/tema-5-numeros-positivos-y-negativos/


  • En este otro se pueden practicar la suma, la resta y el producto (No la división). Muy buena y divertida para 1º y 2º de ESO:
ttp://www.i-matematicas.com/OPERACIONES CON ENTEROS CÁLCULOMENTAL


  • En esta página se encuentra explicación sobre el significado de los enteros, junto con ejemplos. Tienen también algunas actividades. Para hacerlas, clicar en INTERACTIVIDADES y también bajar al menú donde están  los enlaces para hacer operaciones. BUENA PARA EXPLICAR CON EJEMPLOS.
  • En este otro, incluido en la página anterior, hay un problema bueno para 2ºESO:
  http://www.rena.edu.ve/PROBLEMA NUMEROS ENTEROS
  • Muy bueno. Está en inglés, pero da igual:
http://www.math-play.com/soccer-math.html
  • El enlace a la página con la colección completa de juegos sobre números enteros:

Actividades con números naturales

  • En este enlace se pueden practicar operaciones combinadas con números naturales, tanto para 1º, como para 2º de ESO.
  • En este otro se fomenta el cálculo mental con pequeñas competiciones con el ordenador:
http://www.i-matematicas.com/SUMA-RESTA-PRODUCTO-DIVISIÓN CÁLCULO MENTAL

Actividades de ecuaciones de primer y segundo grado



Dejo el siguiente enlace para 1º, 2º y 3º  de ESO.
En él se resuelven paso por paso ecuaciones de primer grado.
Para las de 2º grado:
http://www.genmagic.net/ECUACIONES2ºGRADO
  • El siguiente enlace tiene para resolver ecuaciones de primer grado (Descartes) para 1º de ESO, también con paréntesis, con denominadores y con problemas (TODA LA ESO), eso sí, con lápiz y papel:
  • Para todo tipo de ecuaciones y sistema de ecuaciones (3º y 4º ESO, 1º Bachillerato), incluidos explicaciones y problemas:
http://www.juntadeandalucia.es/ECUACIONES Y SISTEMA DE ECUACIONES

  • Enlace muy bueno, aunque esté en inglés: ecuaciones sencillas y lúdico:
http://www.math-play.com/One-Step-Equation-Game.html
http://www.math-play.com/Equation/Equation-Game-Online.html
  • De nuevo en inglés, pero creo que especialmente bueno para 3º ESO, porque aunque sean ecuaciones de grado 1, se hacen paso por paso como habría que hacerlas:




Movimientos y traslaciones en el plano

Muy bueno:
http://www.juntadeandalucia.es/
El siguiente enlace es bueno para visualizar y entender los distintos movimientos en el plano.
http://docentes.educacion.navarra.es/TESELACIONES
En este otro se muestra como se llegan a las teselaciones de Escher:
http://docentes.educacion.navarra.es/ESCHER

Actividades de geometría para ESO

  • Para calcular ángulos en circunferencia  y polígonos (2º y 3º ESO) con Geogebra:
  • Muy bueno para apreder las fórmulas y calcular áreas de polígonos sencillos.Muy bueno para 3º ESO con Geogebra:
http://docentes.educacion.navarra.es/ÁREAS.
  • Este está bien para 1º y 2º ESO. Consiste en identificar en el dibujo conceptos relacionados con la circunferencia (radio, tangente, longitud...) 
http://www.genmagic.net/CONCEPTOS CIRCUNFERENCIA 
  • Este enlace es para 1º de ESO y es sólo para jugar con los volúmenes.
http://www.genmagic.net/JUGAR CON VOLÚMENES

  • Para practicar el teorema de Pitágoras y un poquito de inglés:
  • Para practica un poco en 1º y 2º ESO figuras geométricas, aunque en inglés:

Actividades de Estadística y Probabilidad

  • Para practicar Estadística y Probabilidad aquí dejo este enlace de actividade realizadas con Geogebra. Muy bueno,  para visualizar gráficamente la media  y la desviación típica.
http://docentes.educacion.navarra.es/
  • Otro enlace muy interesante, donde hay varios experimentos relacionados con la probabilidad y la combinatoria:

Teorema de Pitágoras con Geogebra

En este enlace se trata el teorema de Pitágoras, así como diversas demostraciones que se han hecho de él a lo largo de la historia. Muy interesante.
http://docentes.educacion.navarra.es/

Actividades de funciones

  • Estos enlaces son muy útiles para practicar lo trabajado en el aula sobre funciones en ESO (3º o 4º de ESO) y Bachillerato:
Estos otros enlaces están muy bien para 1º y 2º de ESO, para comenzar a ver funciones, ambos consisten en lo mismo:
Este enlace está muy bien para aprender a construir gráficas a través del ejemplo de una gráfica de temperaturas (1º, 2º y 3º ESO):
Este otro, mejor para 2º de ESO o para introducir 3º ESO:
http://www.amolasmates.es/segundo%20eso/mat2eso5.html
Este otro es el que más me gusta para 3º y 4º ESO: dibujar puntos en gráfica, dibujar rectas, parábolas, cúbicas, funciones elementales... Y la que uno quiera.
 Ejercicios resueltos y sin resolver para 3º ESO:
http://contenidos.educarex.es/FUNCIONES LINEALES

Enlace para escuchar y aprender el teorema de Pitágoras

Del blog Digitalizandolapizarra he cogido este enlace donde se puede escuchar y aprender el teorema de Pitágoras. Explica cómo se puede calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo los otros dos. También tiene al final un test para comprobar si se ha entendido. Aunque hagan falta lápiz y papel para realizarlo, está bien. Ahí va:

Actividades diversas: cálculo mental, lenguaje algebraico, funciones...

  • He descubierto esta página donde se puede practicar operaciones con números naturales, enteros y fracciones de forma entretenida. Lo único que he echado de menos es división de fracciones,  pero bueno... Es cuestión de convertirlas en un producto.
Cálculo mental de i-matemáticas (clicar)
Otro inconveniente: al menos ahora la página es lenta de cargar.

También viene actividad sobre funciones. (clicar)
  • Otra página con actividades de todo tipo para hacer con ordenador, si bien, también hay que utilizar lápiz y papel: ematemáticas (clicar)


  • En matematicasies.com también vienen actividades de todo tipo clasificadas por temas y por cursos (con lápiz y papel).

  •  También con lápiz y papel: vitutor, como matematicasies.com

  •  En este enlace vienen explicaciones de casi todos los temas, con muchos ejemplos y algunas actividades para hacer en la misma página, aunque  en muchas hay que utilizar lápiz y papel. Importante: ver de Tercera Etapa en adelante.
http://www.rena.edu.ve
  • MUY BUEN ENLACE, para toda la ESO y tipo de actividades:
http://www.amolasmates.es/secundaria

miércoles, 27 de julio de 2011

Cuestionario sobre tipos de números

Es un cuestionario sobre catalogar distintos números.

martes, 26 de julio de 2011

Pues es para pensarlo :-)

Ecuaciones para prevenir la guerra


Lewis Fry Richardson
Lewis Fry Richardson (1881-1953) fue, además de matemático, físico y meteorólogo, un pacifista. Uniendo las facetas de matemático y pacifista analizó matemáticamente las causas de conflicto entre países y que podrían desencadenar la guerra entre entre ellos. ¿Cómo lo hizo?
Resumidamente, partió de dos naciones A y B, cada una de las cuales teme la agresión de la otra y, por tanto, ambas se preparan para ello. Así pues, llama x(t) e y(t) a los presupuestos de cada nación dedicados a la defensa en función del tiempo t, los cuales serán unos buenos indicadores de la propensión a la guerra que tiene cada una de las naciones.
Esas serán las incógnitas de las ecuaciones. Hay que fijarse que no son números, sino funciones. La propensión que tiene cada nación a la guerra puede ser diferente a lo largo de los años... O incluso a lo largo de los meses. Como de lo que se trata es de hacer un estudio en un espacio de tiempo grande, hay que averiguar por tanto, cómo depende la propensión a la guerra x(t) ó y(t) a lo largo del tiempo.
Una vez establecidas las incógnitas parte de las siguientes premisas para montar las ecuaciones:
  • La propensión a la guerra de A crecerá más cuanto mayor sea la propensión a la guerra de B (y viceversa)
  • Por otro lado, cada nación tiende naturalmente a reducir su inversión en armamento cuando ya es elevado. Esto implica que el crecimiento de x(t) (en el caso de la nación A) disminuye cuando x (t) aumenta (lo mismo en el caso de la nación B).
Ahora hace falta traducir al lenguaje matemático las condiciones anteriores.  Para ello, en primer lugar, hay que saber cómo se expresa el "crecimiento de x(t)", al igual que el de y(t), a lo largo del tiempo. Este concepto viene expresado por la llamada derivada con respecto al tiempo:



Y análogamente a la variación de y(t) con el tiempo:

La derivada es un concepto y una herramienta matemática muy útil y que, resumidamente, es lo que aumenta (o disminuye) x(t) cuando el tiempo t aumenta una cantidad infitnitesimal. (Esto que es un concepto matemático que no se incluye hasta el Bachillerato, no voy a profundizar más en el tema).
Teniendo todo esto en cuenta, las premisas de las que partió Richardson quedan expresadas en lenguaje matemático en las siguientes ecuaciones:



Donde, k, m, h, l, n y g son números constantes positivos que dependen de cada nación. Concreamente g y h dan cuenta de las relaciones diplomáticas entre los países y Richardson llamó componentes de revancha y hostilidad y que habría que determinar por otro lado.
Puede verse en las ecuaciones como la variación de la propensión a la guerra de la nación Aes proporcional al presupuesto y(t) dedicado  a armamento por parte de la otra nación. Por otro lado, el presupuesto dedicado al armamento de A, al tener el signo "-" frena que vaya aumentando. (Lo mismo en el caso de B)
El sistema de ecuaciones anterior no es del mismo tipo al que estamos acostumbrados en Secundaria, puesto que las incógnitas son funciones, que además aparecen derivadas, con las que no se sabe operar en Secundaria. Además, la solución x(t) e y(t) dependen de los valores de las constantes que se han dicho antes, así como la existencia o no de un equilibrio estable entre las naciones. Por ejemplo, para que haya una situación de equilibrio estable, en que x(t) e y(t) dejen de variar con el tiempo (los presupuestos en armamento y defensa de mantienen estables) debe ocurrir:
  • g y h deben ser positivos
  • m·n < k·l
En caso de que no ocurra lo anterior, x(t) e y(t) podrían ir aumentanto, lo cual significaría el principio de una guerra... O podrían ir disminuyedo hasta hacerse nulas.
Imágenes de la I Guerra Mundial (1914-1918)
El modelo de Richardson fue pionero en el análisis de conflictos entre países, pero no ha sido el único, ha tenido posteriormente varias modificaciones. Uno se percata enseguida de que las ecuaciones simplifican demasiado la compleja realidad y relaciones que existen entre distintas naciones. A lo largo del tiempo se han añadido factores que dan cuenta de más detalles del funcionamiento de cada país implicado: formación de alianzas, proceso de toma de decisiones a nivel burocrático... Lo que hace las ecuaciones más complicadas, pero, por supuesto, sigue siendo difícil describir matemáticamente las distintas y complejas situaciones de las naciones.

Richardson vivió tanto la I como la II Guerra Mundial. Desde 1916 hasta 1919 (durante la I Guerra) estuvo  trabajando en la Friends' Ambulance Unit y durante la II Guerra fue objetor de conciencia, lo que más tarde fue un gran inconveniente para su carrera investigadora. Lo importante es que sus firmes principios pacifistas y los efectos de la guerra que vivió le guiaron a crear un modelo matemático para predecir conflictos a gran escala basado  en la idea de que la causa principal de la guerra es una carrera armamentística entre países. Quizá su firme pacifismo fue el que hizo que  tuviese una imagen muy simplificada de las causas de la guerra, sin entrar en qué radica concretamente la animadversión. Por supuesto, en este modelo matemático tampoco se tienen en cuenta medidas para solucionar o frenar el enfrentamiento, salvo una disminución de la inversión en armamento por parte del contrario.
Hiroshima tras la bomba atómica, el final de la II Guerra Mundial

Además de este trabajo investigó también la posible relación entre la longitud de la frontera entre países y los conflictos entre ellos, como se comentó en la entrada de este blog: Fronteras, costas... Los bordes no son "perfectos", siendo sus trabajos unos que dieron lugar al descubrimiento de los fractales.
Por otro lado, parte de sus investigaciones fueron también sobre meteorología, pero según parece, al descubrir que su trabajo interesaba a los diseñadores de armas químicas, destruyó él mismo su trabajo.
Aquí se pone un ejemplo de cómo pueden aplicarse las Matemáticas en otras situaciones o problemas distintos a los que se plantean en Secundaria.

Bibliografía:

lunes, 25 de julio de 2011

Cuestionario sobre las ecuaciones de 2º grado

Espero que sea útil este test para practicar un poco este tipo de ecuaciones. Tiene 12 preguntas, pero no desesperes, algunas de ellas son fáciles. Gran parte de ellas son incompletas, por lo que se haya la solución muy fácilmente, incluso se pueden averiguar mentalmente. Para las completas, mejor cógete lápiz y papel.¡A por ellas!

viernes, 22 de julio de 2011

Fronteras, costas... Los bordes no son "perfectos"

Desde el comienzo de la Geometría nos hemos acostumbrado a ver o a resaltar las formas más simples en la naturaleza: se pensó que la Luna y los demás astros eran esferas (después tenía un cierto achatamiento), vemos líneas rectas, parábolas, rectas paralelas, triángulos, paralelogramos... Y a lo largo de la historia hemos utilizado esas formas para conocer y describir cuanto nos rodea. Pero la observación con más detalle nos da otra imagen, nos vemos obligados a crear otras herramientas y las Matemáticas se enriquecen.
(Clicar sobre las imágenes para verlas más grandes)

En el siglo XX Lewis Fry Richardson (1881-1953) investigó acerca de la relación entre la longitud de la frontera entre países y la propensión a la guerra de estos (curioso, pero lo investigó). Para ello recopiló datos de la longitud de fronteras y cuál sería su sorpresa cuando descubrió que no existía un acuerdo sobre estas medidas. Por ejemplo, según España, la longitud de la frontera con Portugal era de 987 Km, mientras que Portugal medía para la misma longitud 1214 Km. Lo mismo ocurría en el resto de Europa. ¿Cómo era esto posible? La respuesta a esta pregunta no radica en intereses particulares de cada país, sino en algo más elemental: la unidad de medida que se utilizaba, como se va a comentar a continuación.

Frontera con de Portugal-Cáceres
Efectivamente, las líneas que definen la frontera entre dos países o la de tierra-mar en el caso de las costas son líneas muy "rugosas", muy irregulares,  con innumerables entrantes y salientes de diferente tamaño, muy diferentes de las líneas que forman las figuras geométricas que vienen en los libros de texto. Imaginemos ahora que medimos la frontera anterior (España-Portugal) desde el espacio exterior, desde donde apenas distinguiríamos las irregularidades. La longitud que obtendríamos sería mucho menor que el que obtendríamos desde tierra utilizando como instrumento un enorme compás imaginario abierto 100 Km. Supongamos que después volvemos a medir, pero el compás lo abrimos 10 Km. Puesto que ahora el compás está diez veces menos abierto, habremos medido muchos más entrantes y salientes de la línea de frontera y la longitud obtenida tendrá mayor precisión y será mayor. Si la medida la realizamos con el compás abierto 1 Km, habremos medido aún más entrantes y salientes de la frontera y la longitud será más precisa y aún mayor a la obtenida anteriormente. Así podríamos seguir sucesivamente... Y uno se puede preguntar: ¿qué valor obtendríamos si tuviésemos el tamaño de una hormiga y el compás fuese diminuto?. En este caso, la cantidad de entrantes y salientes que iríamos encontrando durante la medida sería muchísimo mayor... Y la longitud de la frontera que obtendríamos sería mucho mayor también.
En resumen, la longitud de la frontera aumenta conforme disminuye la unidad de medida utilizada (o aumenta la precisión del instrumento de medida). Este es el llamado efecto Richardson.
Llegados a este punto, la noción de longitud que se tenía hasta ahora no resulta adecuada para este tipo de líneas tan irregulares. Se tiene que idear otra idea, otro número que cuantifique cómo estas líneas llenan el espacio. Este número viene dado por el exponente "d" de la siguiente expresión:


Donde L es la longitud de la frontera, c es una constante que depende la frontera que se mida y s es la unidad de medida.
Es obvio en la expresión anterior que la longitud L depende de la unidad de medida, de la escala en la que se mide la frontera. Cuánto menor sea "s" (mayor escala), mayor será L. Por otro lado, se puede decir que 1/s indica la precisión (cuanto menor es "s" mayor es la precisión 1/s), así que cuanto mayor sea la precisión, mayor será la longitud medida L.
Cuanto mayor sea el número "d" mayor es la rugosidad o irregularidad de la línea de frontera. En la gráfica siguiente se representan los valores de L para distintas "s" (H en la gráfica) en el caso de algunas fronteras:

La gráfica a) corresponde a la frontera España-Portugal, a la que le corresponde una d=0,14. La curva b) corresponde a la frontera terrestre de Alemania (1900) con d=0,15 y la curva c) a la costa occidental de Gran Bretaña, una de las más recortadas del planeta y que tiene una d=0,25.
Gran Bretaña, una de
las costas más irregulares
Sudáfrica, una de las costas
más uniformes















Otros datos son d=0,02 para la costa de Sudáfrica, una de las más uniformes del planeta y d=0,13 para la costa de Australia (parecida a la de España y Portugal).

En la imagen anterior aparece también la gráfica que obtendríamos si midiésemos la longitud de una circunferencia a distintas escalas e). En este caso, al igual que con cualquier polígono regular, el perímetro que mediríamos no depende de la escala o unidad de medida. Si imaginamos una circunferencia de 100 Km de diámetro, el perímetro viene dado por la expresión ya archiconocida:

Si en lugar de calcular el diámetro, lo midiésemos con un compás abierto 50 Km (lo que equivale a aproximar la circunferencia a un hexágono regular), la longitud obtenida sería de 300 Km. Para una unidad de medida inferior, aproximando la circunferencia a un polígono regular de 12 lados, la aproximación seria de 310, 584 Km. Para una aproximación de un polígono de 24 lados, el perímetro medido sería de 313,272 Km... Aproximando a un polígono de 192 lados se obtendría una medida de 314,112 Km. En resumen en las figuras geométricas que aprendemos en los institutos la medida del perímetro no depende de la unidad de medida. Conforme aumenta la precisión del instrumento de medida (la unidad de medida es menor) nos acercamos más al valor exacto del perímetro.
Esta fue la revelación que se descubrió hace unas cuantas décadas y uno de los orígenes de una nueva Geometría: la Geometría Fractal. Pero eso no es todo, hay algo más que caracteriza a este tipo de líneas o de objetos: diferenciándole de las figuras geométricas que aprendemos en los institutos: la autosemejanza a distintas escalas. Esto quiere decir que si aumenta la escala a la que vemos un objeto, seguimos viendo una estructura semejante: las partes se parecen al todo. En la imagen inferior se muestra imágenes obtenidas con el Google de las Rías gallegas a distintas alturas sobre el suelo:
Rías gallegas a una altura de 50 Km, 10 Km y 2 Km de altura

Las costas, como las fronteras, están formadas por distintos cabos y golfos, los cuales a su vez están compuestos de entrantes y salientes y estos, a su vez, de ensenadas y riscos. Esto se puede observa a distintas escalas, desde 50 Km de altura, hasta en la escala a la que observa una hormiga.
Estas características: la nueva forma de medir el contorno y la autosemejanza no son sólo propias de las fronteras, sino que aparecen en muchos objetos en la naturaleza: nubes, hojas de un helecho, estructura de los árboles, romanescu, brócoli...




¿Imaginas medir el contorno de una nube? ¿Y el de la hoja de un helecho?
Lo que me hace recordar esa frase de Joseph Fourier, científico y matemático del siglo XIX que dijo que "El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fértil de descubrimientos matemáticos".
De todas formas, los fractales exactos son puramente matemáticos. En ellos, por mucho que aumentemos la escala nos volvemos a encontrar exactamente la misma estructura... Las partes se repiten hasta el infinito. Algo que no ocurre en la naturaleza. Y lo que es también chocante: encerrando un área finita, el perímetro tiende a ser infinito. Para saber más y ver fractales exactos, este enlace está bien: http://www.arrakis.es/~sysifus/

En este otro enlace, una actividad para hacer en secundaria, relacionada con la medida de costas: http://platea.pntic.mec.es/mzapata/tutor_ma/fractal/activ1_2.htm
Bibliografía:
  • "Una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal". María Isabel Binimelis. Ediciones RBA
  • "Caos fractales y cosas raras". Eliezer Braun. Fondo Cultura Económica.
  • "Una introducción al mundo de los fracales". Parque de las Ciencias de Granada.
Imágenes:

martes, 12 de julio de 2011

Geometría y la propiedad distributiva

En la Antigua Grecia no se enseñaban las Matemáticas de la misma manera que actualmente y no existía el lenguaje algebraico como lo conocemos hoy en día. En lugar de esto, se ayudaban de la Geometría para realizar demostraciones y aprender propiedades de las operaciones con los números, tales como la propiedad distributiva del producto respecto de la suma. Recordemos que esta última es:
a·(b + c) = a·b + a·c
Actualmente se enseña y se aprende esta propiedad sustituyendo las letras por números y  comprobando que el resultado del primer miembro de la expresión es igual al del segundo. Cuando pasamos más tarde a tratar expresiones algebraicas, simplemente, aplicamos la expresión anterior.
Hace más de 2000 años esta propiedad se enseñaba en Grecia con ayuda de la Geometría.
Es fácil hacer el dibujo anterior y darse cuenta de que el área del rectángulo azul (producto de los lados:a·( b+c) ) es igual a la suma de las áreas del rectángulo naranja (a·b) y del verde (a·c).
Una demostración geométrica es utilizada también para demostrar el teorema de Pitágoras (Teorema de Pitágoras) y las identidades notables (Cómo acordarse de las identidades notables)
Para practicar la propiedad distributiva con números dejo el siguiente enlace (p. distributiva con NÚMEROS)
Para practica la propiedad distributiva con expresiones algebraicas pinchar en: ematematicas. También pueden ser válidos:    Multiplicación de polinomios 1 o en Multiplicación de polinomios 2