Números que trascienden

Fijémonos en la siguiente ecuación:

3x + 2 = 4

Rápidamente, obtenemos como solución:

2/3 es un número racional y uno puede pensar que cualquier fracción puede obtenerse con una ecuación similar. Y así es: todos los números racionales son solución de una ecuación de primer grado con coeficientes enteros. Además llegamos a una conclusión: si los coeficientes de la ecuación son enteros, es imposible obtener un número irracional.

Ahora, nos fijamos en la ecuación:

x² – 2 = 0

Que tiene dos soluciones:

Ambos números son números irracionales. Pero la pregunta es: ¿podemos obtener cualquier número irracional con una ecuación de grado 2 si los coeficientes son enteros? La respuesta es no. Por ejemplo, el número pi o el número e no se pueden obtener con una ecuación de grado 2... Ni de grado 3 en adelante, si los coeficientes son números enteros. Así, los números se pueden clasificar en:

• Números algebraicos: los que son solución de una ecuación polinómica con coeficientes enteros. A este grupo pertenecen todos los racionales y parte del conjunto de los irracionales, como:

, que es solución de x² – 2 = 0

el número de oro φ , que es solución de x² – x – 1 = 0

Joseph Liouville 

• Números trascendentes: Los que no son solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Ejemplos son el número e  y el número pi 

Joseph Liouville fue el primero en demostrar que estos número existen en 1844, aunque Euler ya sugirió que e lo era en 1748. Se les llamó trascendentes porque "trascienden el poder de los números algebraicos": no se pueden obtener con un número finito de operaciones con números enteros. Por eso estos números se descubrieron tarde, hacía falta algo más que unas cuantas operaciones con números enteros para llegar a ellos. Recordemos entonces que "e" tiene la peculiaridad de que fue el primer número definido como un límite, por lo que es el resultado de infinitas operaciones y que en la expresión del número pi (para quien se "sorprenda" por la fracción):

uno de los dos valores (o ambos): L y R no son números enteros.

Uno se puede preguntar si e y pi son los únicos números trascendentes. La respuesta es que no. Es más, existen infinitos números trascendentes... Y aún hay más: aunque también hay infinitos números algebraicos, resulta que, por decirlo de alguna manera, "el infinito de los números trascendentes es aún más grande", es decir, los números trascendentes son la mayoría de los números. Tantos, que si nos dispusiésemos a contarlos, comprenderíamos que es imposible, como es imposible contar los números reales (el conjunto de reales es no numerable porque el de trascendentes no lo es). No ocurre lo mismo con los algebraicos: hay infinitos, pero a cada uno de ellos se le puede asociar un número natural, de manera que aunque tardásemos un tiempo infinito, al menos podríamos imaginar que los contamos. (los algebraicos forman un conjunto numerable)

No siempre es fácil averiguar si un número es o no trascendente: la trascendencia de e y π no fue demostrada hasta 1873 (Hermite) y 1882 (por Lindemann) respectivamente, unas cuantas décadas después de la demostración de Liouville. Como pi y e lo son, muchos logaritmos neperianos y expresiones trigonométricas también lo son, pero no siempre es fácil demostrarlo. Por ejemplo, no se sabe si son trascendentes:

• π + e, ni π · e  aunque sí de que uno de los dos seguro que lo es.
• π^π
• π ^e, del que no se sabe siquiera si es irracional, al igual que ocurre con π / e y π + e. Si estos dos últimos números fuesen algebraicos, los polinomios de las ecuaciones son, al menos, de grado 8 y los coeficientes de orden medio 10⁹ .

Sí se sabe que son trascendentes, además de e y pi, por ejemplo:

• e^π 
• π + ln 2
• 
• 
• a^b si a no es ni 0 ni 1 y b es irracional.
•  que es un número de Liouville (primer número demostrado como trascendente).

Y aunque el siguiente número lo puede no parecer por su aspecto, es algebraico:

siendo solución de la ecuación:

Las apariencias engañan... Este número se puede obtener con un número finito de operaciones algebraicas... Cosa que no ocurre con e, π y tantos otros que se escriben tan fácil. Y según lo dicho anteriormente, la inmensa mayoría de los números reales son así de "inalcanzables". Es imposible obtenerlos con las típicas ecuaciones que se resuelven en la ESO porque están más allá de unas cuantas operaciones con números enteros.

Bibliografía:

• "De los números y su historia" Isaac Asimov
• "Los secretos del número pi". Joaquín Navarro. RBA
• "La poesía de los números" Antonio J. Durán. RBA